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E o produto? Shafer usou mil computadores durante dois anos. Por exemplo, para proteger os computadores contra hackers. Na forma fatorada prima de 30, encontramos os seus divisores: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, Veja como é:. Decompor em fatores primos. Neste exemplo é o 2. A coluna da direita apresenta os fatores primos de Nada impede que se inicie o processo dividindo 1 por 7 e depois por 3. Qual é o quociente? Sim; Quem sou? O excesso de velocidade é a causa da maioria dos acidentes com vítimas.

A vida é o que temos de mais precioso. Exemplos: 1. É melhor resolver no papel. O pai volta para casa a cada 20 dias e o filho a cada 15 dias. Às 22 horas.

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Vamos resolver este problema? Como queremos que esse divisor seja o maior possível, escolhemos o Escrevemos abreviadamente assim:. Exercícios 31 Pense nos divisores de Ele quer dividir as duas em montes iguais.

Qual deve ser a quantidade de garrafas por caixa? Ele deve avançar para a casa Ele vai fazer um retângulo com os azulejos. Explique o seu raciocínio usando desenhos. A nossa soma é Adivinhe quem somos nós! Que idade eles têm? Terminar em dois zeros.

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Para servir os seus clientes, quer fazer pacotes iguais de 20 kg da mistura. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos; da segunda, uma de 6 em 6 minutos; e da terceira, uma de 10 em 10 minutos. Observe que cada barra se refere a um mês. Ele indica claramente o assunto? Quantas bicicletas foram produzidas em janeiro?

E em maio? Resposta pratico esportes leio livros e revistas passeio com a família assisto à TV jogo videogame. A frequência indica quantos alunos deram determinada resposta. Por exemplo, nesta pesquisa, 10 alunos responderam que aproveitam suas horas de lazer para praticar esportes.

Como você aproveita suas horas de lazer? Os 30 alunos de um 6o ano responderam a essa pergunta. Os dados obtidos foram colocados numa tabela.

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Quer ver como eles fizeram? Forma de lazer preferida. Forma de lazer. A frequência é indicada pela altura de cada retângulo. Lembre-se de que todas as barras devem ter a mesma largura. Por exemplo, se você escolher que 1 centímetro vale 1 aluno, esse valor deve ser mantido em todo o eixo vertical. Dia da semana. Frequência de alunos à biblioteca Frequência. Todos os alunos responderam escolhendo um esporte apenas.

O resultado dessa consulta pode ser visto no quadro abaixo. Como praticante. Vamos fazer uma pesquisa estatística? Propomos que você e seus colegas façam uma pesquisa sobre os pontos positivos e negativos do bairro onde se localiza sua escola. O que mais lhe agrada no bairro? Para elaborar as alternativas para as respostas, os alunos da classe devem conversar e levantar os principais aspectos positivos e negativos do bairro. Entrevistem um grupo de aproximadamente pessoas: homens, mulheres, jovens, idosos, pessoas de profissões diversas, marcando atentamente a quantidade de respostas que cada alternativa teve.

Troquem opiniões, conversem. Depois, cada aluno deve elaborar um pequeno relatório com suas observações e conclusões. A coruja e o cavalo. Ao final, a figura ficou mais ou menos assim: Ilustrações: DAE. Os seres humanos, desde a Antiguidade, observam e estudam as formas presentes na natureza. Muitas delas inspiraram objetos que hoje utilizamos. Vamos aprender um pouco mais? Elabore com os colegas uma lista de objetos e construções feitas pelo ser humano, cujas formas foram inspiradas ou adaptadas a partir de formas presentes na natureza.

Observe que o triângulo ficou todo contido no plano da folha. O triângulo representa uma forma plana. Observe bem os quadros anteriores e responda: Que características uma figura plana deve ter para ser um polígono? Observe as fotografias. A superfície da caixa de fósforos é formada somente por figuras planas: seis retângulos. Isso também acontece com a outra embalagem, cuja superfície é formada por dois triângulos e três retângulos.

Na lata de milho da foto, temos duas formas planas círculos , mas sua superfície lateral é arredondada. Sua superfície é toda arredondada. A superfície dos poliedros é formada somente por polígonos. Cada polígono é uma face do poliedro. Nas dimensões. Fundou em Atenas, por volta de a. Este poliedro chama-se dodecaedro. Veja como o interesse humano pelos poliedros é antigo! Ter a superfície formada somente por polígonos.

Depois, pense e responda: Por que as latas em forma de cilinlhas etc. Investigando os blocos retangulares O poliedro representado abaixo, cuja forma aparece em muitas construções e objetos, recebe o nome de bloco retangular. Vamos nomear partes do bloco retangular. Apanhe uma caixa de fósforos: ela tem a forma de um bloco retangular. O bloco retangular possui três dimensões: comprimento, largura e altura. Utilizando uma régua, obtenha o comprimento, a largura e a altura de uma caixa de fósforos.

Registre as medidas em seu caderno e compare com as medidas tiradas pelos colegas. O bloco retangular possui seis faces, todas retangulares. Identifique-as na caixa de fósforos.

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O trecho de reta produzido pelo encontro de duas faces chama-se aresta. O bloco retangular possui 12 arestas. Localize-as na caixa de fósforos. O ponto de encontro das arestas é um vértice. O bloco retangular possui oito vértices. Confira na caixa de fósforos. Todo poliedro possui faces, arestas e vértices.

Quantas faces, arestas e vértices ele possui? Qual é a forma das faces de um cubo? Compare o cubo com o bloco retangular. O que você observa?

Maíra quer saber o comprimento das arestas de um cubo. Para isso, mediu com a régua o comprimento de uma delas. Ela precisa medir as demais arestas? Observando o encontro das arestas chegamos à ideia de ponto. Vamos representar um ponto com uma marquinha no papel. Imagine uma aresta do bloco retangular prolongando-se indefinidamente como na figura ao lado. Você imaginou uma reta. Um trecho de reta limitado por dois pontos, como uma aresta do bloco retangular, por exemplo, chama-se segmento de reta.

Por fim, imagine uma face do bloco retangular prolongando-se indefinidamente, como na figura ao lado.

Você imaginou um plano, que é outra figura fundamental para a Geometria. A mais usual é a apresentada abaixo, mas é preciso ter em mente que o plano é ilimitado. Consiga uma embalagem em forma de bloco retangular. Se ela tiver abas para colar as faces, corte-as fora. Desenhe-a em seu caderno e indique em. Explique como. Para isso, podemos usar, por exemplo, desenhos em perspectiva. A perspectiva é uma técnica que permite representar figuras tridimensionais, como poliedros, no plano representado pelo papel.

Vamos começar desenhando um bloco retangular em perspectiva. Assinale os vértices da face oposta. Desenhar poliedros em perspectiva é bem legal! Veja como eu desenhei outros poliedros no papel quadriculado. Faça como Marcela: experimente desenhar outros poliedros usando perspectiva. Mostre seus desenhos aos colegas, troquem ideias. Essa planta representa uma vista superior do imóvel. Localize cada cômodo, procurando representar os móveis no plano, como na. A embalagem da foto tem a forma de um poliedro.

Podemos representar sua vista superior e sua vista frontal no papel: DAE. Desenhem em seus cadernos como seria a vista planificada frontal e superior de cada um deles. Cilindro, esfera e cone. Frontal: Superior:. É possível traçar mais? Sim; Infinitas.

Sim, a reta que passa por A, B e C. Use uma malha quadriculada para: a reproduzir as duas figuras da parte inferior do quadro; b reduzir o comprimento de todas as arestas do bloco retangular à metade. Escreveu a mesma letra em cada par de faces opostas. Anote no caderno qual é a caixa de Evaldo. Bloco retangular. E na terceira? Forme dupla com um colega.

Para finalizar, criem novas formas combinando as figuras que você construiu. Vocês podem expor as composições obtidas para os demais alunos da escola! Observe as diferentes vistas e identifique abaixo qual delas é a: a vista de cima; B a A figura do primeiro desenho é plana? Descreva-lhe a figura abaixo de modo que seu amigo descubra o que é. Na primeira usamos 1 cubo; na segunda, 6 cubos; e na terceira, 11 cubos.

A sequência é 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, E a caixa? Ambos têm 6. Odecubo vértices, faces e arestas. Rosa e azul. Verde e vermelho. Roxo e amarelo. A pilha de tijolos vai ficar maior. Ela vai passar a ter 3 tijolos de comprimento, 3 de largura e 7 de altura. No ponto A temos uma aranha e, em H, uma mosca.

Cada uma dessas regiões é um ângulo. Como as semirretas formam dois ângulos, é preciso identificar com qual ângulo vamos trabalhar. Para isso usaremos um pequeno arco veja a figura a seguir. O ponto O origem das semirretas é o vértice do ângulo. E se as semirretas de mesma origem estiverem numa mesma reta? Giros e ângulos Renata prendeu dois palitos de sorvete com um percevejo, como você vê na imagem ao lado.

Manteve um deles fixo e girou o outro. Ela percebeu que o giro do palito descreve um ângulo. Observe os ângulos assinalados nos desenhos ao lado. Discuta com os colegas: estes ângulos têm a mesma medida? Trata-se de uma herança muito antiga.

Observando o céu, eles imaginaram que o Sol girava ao redor da Terra e levava dias para dar uma volta completa. Hoje sabemos que é a Terra que gira ao redor do Sol e que uma volta completa leva dias e algumas horas.

É este instrumento, chamado transferidor, que usamos para traçar e medir ângulos. Paris: Larousse, A Mesopotâmia ficava entre os rios Tigre e Eufrates. O ângulo reto corresponde à quarta parte do ângulo de uma volta.

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Quarta parte do círculo. Metade do círculo. Círculo inteiro. Utilize a que tem o zero sobre o lado do ângulo. Procure objetos e construções em que seja possível utilizar o transferidor para medir ângulos. Registre as medidas que encontrar em seu caderno. Classifique-os como retos, agudos ou obtusos.

Por estimativa, indique no caderno a letra que acompanha o ângulo e a medida a ele correspondente. A rua Quinze é perpendicular à rua Treze.

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Veja: r a. Existem dois tipos de esquadros:. Providencie um par de esquadros. Atualmente, muitos profissionais traçam retas per30o. Eles contam com o auxílio de softwares especializados. No entanto, para usar. Procure entrevistar um desses profissionais, como um arquiteto ou projetista, para saber que importância tem a Geometria em seu trabalho.

Apoie um lado do ângulo reto do esquadro sobre a reta s e trace um trecho da reta t perpendicular a s. Apoie um lado do ângulo 2. Mantenha a régua fixa e deslize o esquadro para reto do esquadro sobre a traçar a reta t.

Mantenha a régua fixa e reto do esquadro sobre a deslize o esquadro para régua e trace s. Resposta possível: 12h. Resposta possível: 6h. Nos primeiros cinco minutos, logo após o início do funcionamento, o menor ângulo formado pelos dois ponteiros vai diminuir ou aumentar? O ângulo vai diminuir. Para que você acione de forma correta o comando, imagine-se dentro do robô.

O que você pode dizer das marcas deixadas pelas duas rodas da carroça na estrada? Em seguida, resolveu admirar o próprio desenho imitando um célebre detetive através de uma lupa que aumentava 4 vezes um objeto qualquer. A distância entre cada uma das ruas é de metros. Polígonos Repare como na estrutura ilustrada ao lado foram utilizados triângulos.

Isso é bastante comum nas construções de prédios, telhados, móveis etc. Você sabe por quê? O triângulo torna as estruturas mais firmes, rígidas. Podemos comprovar isso construindo um triângulo e um quadrado com palitos de sorvete e percevejos, como os das fotografias a seguir.

Em seguida, tentamos deformar essas figuras. Numa estrutura de telhado, por exemplo, a rigidez é uma característica importante. Os polígonos apresentam características e propriedades importantes. Polígono é uma figura geométrica plana limitada por segmentos de reta, chamados lados do polígono. Observe o polígono: A. Acrescente a esta lista outras palavras que tenham o prefixo poli, com seus respectivos significados. Esse polígono é um triângulo. Veja os principais: Utilize a tabela para nomear os polígonos abaixo.

Porque o triângulo é um polígono rígido. Triângulos Copie em seu caderno a tabela abaixo. Usando a régua, meça os lados de cada triângulo a seguir e anote as medidas na tabela.

Medidas dos lados em centímetros Triângulo ABC. A partir da tabela que você construiu, responda.

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ABC 2. Qual dos triângulos é isósceles? DEF 3. Qual dos triângulos é escaleno? Entre os paralelogramos existem alguns que recebem nomes especiais por causa das suas propriedades. O quadrado é um paralelogramo, é um retângulo e é um losango também! Exercícios 7 O desenho da bandeira é formado por figuras geométricas. Veja a bandeira do Seicheles, o menor país africano. Verde e azul. Classifique esse triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos. Polígonos regulares Um polígono é regular quando tem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos com medidas iguais.

Na figura abaixo, combinamos dois polígonos para formar um mosaico. Identifique e nomeie esses polígonos. Qual deles é regular? Observe as figuras e copie no caderno a alternativa correta. Ele pretende cercar esse terreno com arame.

Para contornar o seu terreno, o senhor Lima precisa de m de arame. Justifiquem a resposta no caderno. Exercícios 19 Qual é o menor trajeto que uma formiga deve fazer para ir de A até B usando o contorno da figura?

Cada rolo de arame tem 50 m. Juntando os quatro quadrados é possível formar figuras com 20 cm de perímetro. Descubra pelo menos duas dessas figuras e faça o desenho delas em seu caderno. Mas ao redor do quê? Vamos descobrir? Faça assim:. Usando régua, marque um ponto sobre a folha que esteja a 2 cm de P. Se tomarmos todos os pontos da folha que distam 2 cm de P, obteremos uma linha fechada ao redor de P: uma circunferência.

P é o centro dessa circunferência. A distância de P até qualquer ponto da circunferência é o seu raio. A circunferência do exemplo tem raio de 2 cm. Unindo a circunferência e os pontos do seu interior, obtemos um círculo:.

O círculo é uma figura plana. O centro e o raio do círculo coincidem com o centro e o raio de sua circunferência. O ponto P é o centro da circunferência abaixo. O segmento AB é um diâmetro da circunfência. Experimente traçar algumas circunferências com compasso em seu caderno. Em cada uma nomeie o centro e anote a medida do raio. No entanto, quem sabe o que é preciso para traçar uma circunferência é capaz de improvisar.

Resposta possível: fixar uma ponta de um barbante com 3 m de comprimento, esticar e girar o barbante ao redor do ponto fixo, traçando a circunferência com giz. Lico; Rui. Ari e Luís. Qual deve ser a menor medida da lateral dessa capa?

Identifique-os a partir das letras marcadas nas figuras. Comece pelo triângulo isósceles. Dobre-o pela reta r como indica a figura. Observe que a reta r separou o triângulo em duas partes idênticas que se superpõem perfeitamente. A reta r é o eixo de simetria deste triângulo. O triângulo isósceles apresenta somente um eixo de simetria. Ele apresenta três eixos de simetria. Veja ao lado como fazer as dobras. Agora é com você.

Procure eixos de simetria nos demais polígonos e no círculo. Copie e complete a tabela abaixo em seu caderno. Discuta com os colegas as questões propostas. Quantos eixos de simetria apresenta o círculo? Qual é o nome dele?

Quais os nomes desses polígonos? Responda em seu caderno: quantos eixos de simetria tem cada bandeira? ABD c Indique um triângulo obtusângulo. Desafios 36 Desenhe um quadrado. Recorte-o de modo a obter 4 triângulos retângulos. Tente, com dois ou mais desses triângulos, construir: a um retângulo;.

O que você verifica? Como você explica? Qual é o comprimento do lado do quadrado? Quantas estacas ele vai precisar? O perímetro exterior da calçada mede 8 metros a mais que o perímetro interior da calçada. Qual é a largura dessa calçada? Encontramos simetria na natureza, na arquitetura, na arte Limite Circular III, Xilogravura, prova de 5 matrizes, com diâmetro de 41,5 cm. Observe as fotografias abaixo. Muitas gravuras de Escher lembram mosaicos. Além de figuras geométricas, ele explora outros elementos em suas composições: plantas, peixes, figuras humanas.

Que tal desenhar figuras simétricas? Comece com figuras mais simples. Veja exemplos que apresentamos. O eixo pontilhado é um eixo de simetria. Ele fez um esquema desse painel mostrado na figura e utilizou as formas de:. Sua forma é de um: a trapézio. Ela tem a forma de um retângulo e um dos seus lados tem 4 cm de comprimento.

Em que ordem os discos foram colocados na mesa? Inteiro e parte do inteiro Daniel vai se atrasar para o jantar. Dividiu-a em 4 partes iguais e guardou uma delas para Daniel. O triângulo foi dividido em 9 partes iguais e 6 delas foram pintadas. A parte pintada corresponde a 6 do triângulo.

Prosseguindo, quartos quintos sextos sétimos oitavos nonos. As frações cujo denominador é uma potência de base dez 10, , 1 , 10 etc. Veja, por exemplo, as brocas na fotografia ao lado. Descubra, com os colegas, mais exemplos de aplicações de frações. Usando a régua, faça marcas que correspondam a: a metade da sua altura; b um quarto da sua altura;.

Cinco nonos. Escreva essas frações 5 por extenso. Três oitavos; um décimo; três quintos. Quantas figurinhas correspondem a. Bruno colocou 39 litros de gasolina no tanque de seu automóvel. O marcador, que antes 3 de tanque. Qual é a capacidade total desse tanque? A capacidade total do tanque corresponde a 4 Se. Deposito o restan5 te na poupança para baixar um aparelho de som.

Quanto deposito por mês? Quantos ovos ela gastou? Ari comeu um terço, Lia comeu um quarto e Maria, um sexto. Ari: 8 jujubas; Lia: 6 jujubas; Maria: 4 jujubas. Que 3 idade tem o pai do Carlos? Na primeira parada, a metade desses passageiros desembarcou. Nesse mesmo local, outras 4 pessoas embarcaram. Na segunda parada, a maioria dos passageiros desceu, ficando apenas 3 deles.

Porém, ali embarcaram mais 13 pes7 soas. Quantos passageiros seguiram viagem? Mariana mediu o comprimento de seu caderno usando palitos de fósforo como unidade de medida. Na figura ao lado vemos dois retângulos idênticos. Por volta do século XX a. A preferência dos egípcios pelo uso de frações de numerador 1 era evidente e influenciou outros povos por muitos séculos. O evento ser realizado no Parque de Exposies da capital.

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