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LIVRO CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA BAIXAR


Aliás, frisamos que, ao introduzir o Cálculo Vetorial neste livro, o fizemos com o propósito de enriquecer as técnicas usadas em Geometria Analítica, sem. O livro possui uma grande quantidade de exercícios resolvidos, com o objetivo Em se- VIII Cálculo Vetorial e Geometria Analítica guida, nos capítulos 2 e 3. Exercícios resolvidos de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Baixar o documento. Pré-visualização3 LIVROS PUBLICADOS NO SITE.

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Calcule o ponto médio de AG. A assíntota r tem declividade m1 3 a 3 a Portanto, as assíntotas têm equações y. Observemos que para h. Mano Azevedo 9 de junho de Argumento semelhante vale para qualquer func;ao que tenha uma descontinuidade infinita em [a, b]. Além disso, essa reta tem que ser perpendicular ao plano. Mas, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, u. Calcular as coordenadas desses pontos. Logo, pela regra CIllII!

O livro possui uma grande quantidade de exercícios resolvidos, com o objetivo Em se- VIII Cálculo Vetorial e Geometria Analítica guida, nos capítulos 2 e 3. Exercícios resolvidos de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Baixar o documento. Pré-visualização3 LIVROS PUBLICADOS NO SITE. Respostas do Livro de Geometria analítica e cálculo vetorial (Paulo Winterle) 72 páginas. 50Números de download Baixar o documento. Esse aplicativo foi desenvolvido com o intuito de auxiliar no aprendizado de Geometria Analítica, além de ser uma ferramenta para o cálculo de variados. Cálculo Vetorial como em sua aplicação à Geometria Analítica. Estudaremos, também, o fracionários, o que dificultará os cálculos posteriores. Para evitar.

Corte e borda levemente amarelados. Miolo livre de grifos e rasuras. Livro encapado. Carimbo na folha de guarda. Assinatura Rasurada. Foto ilustrativa. GG Sinopse Livro pouco gasto. Nome da antiga dona na contra capa. Corte meio amarelado pelo tempo, Miolo levemente amarelado, mas sem rasgos ou rabiscos. OBS: Livro com pontos amarelo do tempo. Euclydes da Cunha. Miguel o Feitosa. Barras: Corte e borda amarelado.

Alguns trechos com grifos e rasuras. Sinopse: Exercícios propostos e resolvidos. Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor. Tomemos um ponto A qualquer Figura 1. O vetor representado pelo segmento orientado de. Observemos que no paralelogramo deG G terminado pelos vetores u e v Figura 1. G G Figura 1.

G A Figura 1. Por exemplo, na Figura 1. Por exemplo, G se v. Exemplo G G G Seja o vetor v z 0. É o G G que ocorre, por exemplo, com os vetores u e 2 u que têm o mesmo sentido Figura 1. Problemas propostos 1. Dados os vetores u e v da Figura 1.

Figura 1. Embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, a pensamos como um conjunto ordenado. Entre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante.

Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy. G Dado um vetor v qualquer do plano Figura 1. As Figuras 1. Cada dupla de vetores da base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina um plano coordenado. É muito importante que o leitor tenha presente os casos especiais dos pontos pertencentes aos eixos e aos planos coordenados, ilustrados na Figura 1. Ela mostra que o eixo x pode ser descrito como o conjunto dos pontos do tipo x, 0, 0 , ou seja, daqueles que têm y 0 e z 0, e o plano xy como o conjunto dos pontos do tipo x, y, 0 , ou seja, daqueles que têm z 0.

Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes Figura 1. A cada octante correspondem pontos cujas coordenadas têm sinais de acordo com o sentido positivo adotado para os eixos. O primeiro octante é constituído dos pontos de coordenadas todas positivas.

Os demais octantes acima do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido positivo. O ponto D Figura 1. Calcular o. Determinar o ponto D. Demonstraremos a propriedade II, deixando a cargo do leitor as demais. Na Figura 2. G G A igualdade somente ocorre quando u e v forem paralelos e de mesmo sentido. A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que existem dois vetores que determinam os lados do triângulo cujo produto escalar é zero.

Observemos que, no triângulo ABC da Figura 2. G Seja v x , y , z o vetor procurado. A Figura 2. Podemos observar que a comG ponente da força F que realiza o G trabalho é Fx paralela ao deslocauuur r mento AB d , conforme mostra a Figura 2. A grandeza física trabalho, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema Internacional o joule, notado por J.

G A Força F Figura 2. Determinar a. Determinar v , sabendo que v Um determinante de ordem 2 é definido como x1. No entanto, as propriedades valem também para as colunas.

Dispõe-se os dois vetores em linha e repete-se, pela ordem, as duas primeiras G G colunas. Portanto, no produto vetorial a ordem dos fatores é importante.

A Figura 3. Portanto, esse problema tem infinitas soluções. Seja d a distância do ponto P à reta r uuur uuur Figura 3. A altura do triângulo indicada na figura é a mesma do paralelogramo de base AB. Entre algumas de suas aplicações pode-se citar o torque.

Exemplo uuur Calcular o torque sobre a barra AB Figuuuur r r ra 3. Resolver os sistemas a. Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor. Tendo em vista que G i. As propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes. Por outro lado, no estudo do produto vetorial vimos que o G G G G vetor v u w é também ortogonal a v e w.

Calcular o valor de m para que G G G o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 16 u. Em consequência, esses vetores determinam um paralelepípedo Figura 4. Assim, o volume Vt do tetraedro é um terço do volume do prisma, ou seja, Vt.

Calcular: a o volume do tetraedro; b a altura do tetraedro relativa ao vértice D. Como o volume V do paralelepípedo é dado por V. Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta. A Figura 5. Nesse caso, uma das componentes do vetor é nula. G A Figura 5. Para o caso particular da reta ser paralela a um eixo coordenado, costuma-se simplificar, e expressar as equações somente pelas constantes.

As Figuras 5. Na Figura 5. É o caso do exemplo 2 Figura 5. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos. Determinar P. Escrever equa-. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M 1.

Determinar o ângulo entre as seguintes retas:. Determinar os pontos da reta. Por exemplo, se um plano S é dado por. Tendo em vista que A Â?

Geometria Analítica - Steinbruch e Winterle

Obtemos, assim, os pontos A1 2, 0, 0 , A2 0, 3, 0 e A3 0, 0, 6 nos quais o plano intercepta os eixos coordenados. A Figura 6.

Por exemplo, para h 0 e t 1, vem x 1, y. Fazendo 0, vem z. Observemos que para h. Portanto, trata-se de um plano paralelo a xOy e que intercepta o eixo Oz perpendicularmente em 0, 0, 6. Na Figura 6. Pela Figura 6. Teremos de encontrar um vetor G G G n2 normal a S 2. Pelas figuras conclui-se que:. S, sendo A Â? Como r Â? Outra maneira de obter equações de r é determinar um de seus pontos e um vetor diretor. Se existir um ponto I x, y, z Â?

Seja o plano. Respostas de problemas propostos. G G ur Consideremos na reta r um ponto A e um vetor diretor v. A Figura 7. De acordo com o Capítulo 2, tem-se. G G sendo v vetor diretor de r e n um vetor normal a S.

Cónicas 81 3. Indiquemos por r u s o subconjunto constituído das retas r e s. De acordo com o Exercício 3.

Seja P x, y um ponto da cónica. Para isto, tomamos três retas x, y e z perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O, como mostra a Figura 4. Observe que os eixos x,yez definem três planos, cada um munido de um sistema de coordenadas. Os eixos x e y, por exemplo, definem o plano horizontal xOy. Seja P um ponto qualquer do espaço. Traçando por P perpendiculares a z e ao plano horizontal xOy, determinamos os pontos Pz e P0, veja a Figura 4. O Espaço 91 Fig.

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A Figura 4. Na Figura 4. Uma sala tem 6 m de largura por 8 m de comprimento e 4 m de altura. Logo, D 3, 4, 0. Logo, P 3,4, 2.

Earl Swokowski - Cálculo Com Geometria Analítica - Vol. 1 - 2ª Edição

Exercícios 4. Represente graficamente a a reta definida pelos pontos A 2, 1, 3 e 5 4, 5, -2 ; b o plano definido pelos pontos A 0, 0, 3 , 5 2, 3, 1 e C 0, 3, 4.

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Escreva na forma dos conjuntos A, B, C, Um tanque de base retangular tem, em metros, as seguintes dimensões: base 5 x 6 , altura 3. D Fig. A distância entre o ponto A x, y, z.

Determine o centro e o raio desta esfera. Fato semelhante também se verifica no espaço. Como podemos ver na Figura 4. Indicaremos o conjunto dos vetores do espaço por R3. Observe que o módulo de um vetor é igual ao comprimento da seta que o representa. Logo, devemos ter u. Este sistema admite uma infinidade de soluções. Veja a Figura 4. O vetor w é chamado produto vetorial de u por v e indicado por u X v. Nas aplicações, identificamos o sentido de u X y como sen- do aquele que um saca-rolha avança quando sua extremidade é colocada na origem comum de u e v e ele é girado no sentido de u para v Figura 4.

O Espaço Fig. Para se demonstrar as propriedades enunciadas anteriormente, é suficiente colocar coordenadas genéricas para u, v e w, realizar as contas indicadas em cada membro da igualdade e comparar os resultados.

Por exemplo, quando se permutam duas linhas de um determinan- te, este apenas muda de sinal. Lembrando que o produto escalar é comutativo, podemos ainda escrever u X v. O Espaço Na Figura 4. Calcule: a u. Determine o volume do paralelepípedo definido por w,, w2 e vv3 4. De u m vértice de um cubo traçam-se u m a diagonal do cubo e uma diagonal de u m a face.

Determine os ângulos agudos que a reta definida pelos pontos A l , -3, 2 e B 3, -9, 6 faz com os eixos do sistema de coordenadas. Mostre que. Verifique que a u. Seja u um vetor perpendicular a v e w.

Isto significa que, qual- quer que seja o ponto P x, y, z de a, o vetor AP é perpendicular a v. Ou seja, o ponto P pertence a a se, e somente se, AP. Sendo v perpendicular ao plano, segue que v. Portanto, 5, 6, 2. Como mostra a Figura 4. O plano mediador de AB é o plano perpendicular a AB e que contém o seu ponto mé- dio.

O ponto é 3, 0, 0. Sejam u e v vetores de direções diferentes e A um ponto do espaço. Se a é o plano definido por r, e r2 veja a Figura 4. Basta mostrarmos que u X v. Para se obter um ponto desta reta basta atribuir a t um valor particular. Portanto, 8, -3, 1 é um ponto da reta.

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O ponto A 2, 1, -3 pode ser obtido atribuindo-se a t o valor zero. Reta Definida por dois Pontos. O Espaço O ponto da reta pode ser escolhido como sendo A ou B. Esses dois pontos pertencem à reta definida por A e B. O centro da esfera é o ponto 0 1,2, Seja C xf , y0, z0 o centro da circunferência.

Neste triângulo, a hipotenusa é o raio da esfera e, portanto, igual a 2. Escreva as equações paramétricas da reta definida pelos pontos a A 2, 1, 3 e 5 1, 3, 7 ; b A 0, 0, 0 e 5 0, 5, 0 ; c A l , 1, 0 e 5 2, 2, 0. O Espaço 4. Determine o lugar geométrico dos pontos do espaço eqüidistantes de A 2,1, 3 , 5 2,0, 3 e C 0, 3, Deduza as equações dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos xz e yz. Para escrevermos as equações paramétricas desta reta, necessitamos conhecer dois de seus pontos ou um de seus pontos e um vetor a ela paralelo.

Neste caso, a reta é paralela ao plano. Portanto, a distância de um ponto qualquer de r a a é constante. Esta constante é a menor distância entre r e s veja a Figura 4. Por I tracemos uma perpendicular a r' que a intercepta em Q. SePé um ponto qualquer de. I r Fig. Primeiro, por um ponto de s, -5, 6,4 , por exemplo, tracemos a reta j ' paralela a r.

Determine os valores de. Este plano é chamado plano projetante de r sobre a. Determine os ângulos entre os planos das faces da pirâmide. Seja P x, y, - um ponto qualquer da superfície.

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Como no exemplo que acabamos de examinar, na Figura 5. Primeiro, tomamos um ponto P x, y, z da superfície. Na figura indicamos o centro desta circunferência por R. Estando R no eixo z, segue que R 0,0, z. Veja na Figura 5. Veja a Figura 5. Na Figura 5. Seja P x, y, z um ponto qualquer do cone. Veja Exercício 5. Seja R a distância entre r es. Exercícios 5.

Determine as coordenadas do centro da circunferência descrita pelo ponto P x, y, z ao girar em torno do eixo a x, b y, c z. Determine as coordenadas de um ponto genérico da circunferência descrita por Q 2, 3, 5 ao girar em torno do eixo y. Esta superfície chama-se cilindro parabólico reto. A superfície esboçada na Figura 5. Nas Figuras 5. Mas, por comodidade, con- tinuaremos a usar x,yez.

Item b. Esboço Fig. Juntando as informações acima, obtemos o esboço da superfície. Seccionando um parabolóide por um plano perpendicular a seu eixo e a três unida- des do vértice, encontramos uma elipse de eixos iguais a 6 e 12 unidades. Soluções semelhan- tes às encontradas podem ser obtidas fazendo-se o eixo x ou y , do sistema, coincidir com o eixo do parabolóide. Existem outras soluções?

Em todos os casos, elas ficavam determinadas por pares de equa- ções cartesianas. Utilizamos esta técnica quando estudamos equações de reta no espaço. As superfícies dadas, conforme se vê na Figura 5. Neste intervalo, a cada valor de y correspondem dois valores de z. Como T í. T t , segue que 2 7Xí.

Neste caso, temos V t - -senr, cos? Esta trajetória veja a Figura 5. Na Figura 6. Exercícios 6. Dados os três vértices z,, z2 e z3 de um paralelogramo, determine o quarto vértice.

A própria origem tem coordenadas 0, ff para ff qualquer. Raízes n-ésimas da unidade. A Figura 6.

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Isto é, mostre que zeie forma com z um ângulo 9. Quando 8 varia de tt! Veja a Figura 6. A lemniscata é uma curva plana definida como sendo o conjunto dos pontos cujo produto das distâncias a dois pontos fixos de coordenadas cartesianas a, 0 e -a, 0 tem o valor constante a2. A epiciclóide é a curva gerada por um ponto P de uma circunferência que roda externamente, sem deslizar, sobre outra circunferência, como mostra a Figura 6. A epiciclóide obtida com duas circunferências de raios iguais Figura 6.

Quando estas duas circunferências têm raios iguais, o ângulo t é igual ao ângulo polar 0 que o vetor IP faz com o eixo x. Quando a circunferência móvel do exercício anterior roda internamente, como mos- tra a Figura 6. Deduza uma fórmula para a distância entre dois pontos dados pelas suas coordenadas polares r,, 0, e r2, d2. Seja C a circunferência de raio a e centro 0, a e s uma reta que contém a origem. Por A trace uma paralela ao eixo x e por B, uma paralela ao eixo v.

Quando s varia, P descreve uma curva conhecida pelo nome de feiticeira. Deduza suas equações paramétrica e cartesiana. Neste capítulo estudaremos uma Geometria Analítica em quatro dimensões. Outro exemplo: como sabemos, um cubo separa o espaço tridimensional em duas partes, uma limitada o seu interior e outra ilimitada o seu exterior.

A própria teoria da relatividade de Einstein se assenta sobre um espaço de quatro dimensões. Assim como acontece com uma terna x, y, z em R3, uma quadra x, y, z, w pode ser imaginada como um ponto ou um vetor. Como vetor, pode ser repre- sentada por uma seta com ponto inicial na origem e final no ponto x, y, z, w.

O leitor pode imaginai um sistema de eixos coordenados formado por quatro eixos perpendiculares entre si: os eixos x, y, z e w, formados por pontos da forma x, 0, 0, 0 , 0, y, 0, 0 , 0, 0, z, 0 e 0, 0, 0, w , respectivamente.

Geometria Analítica - Steinbruch e Winterle | Sou Exatas

Na Figura 7. Estas operações gozam das mesmas propriedades comutatividade, associatividade etc. Para escrever as suas equações paramétricas, observamos que um ponto P x, y, z. Um ponto desta reta é, pois, da forma 1, 1,1, t Figura 7. O leitor deve comparar este exemplo com o da reta em R 3 paralela ao eixo z, passando pelo ponto 1, 1, 0 Figura 7.

O R 4 contém também variedades lineares de três dimensões, os hiperplanos. No R3, por exem- plo, um hiperplano é o que usualmente denominamos plano. Este hiperplano é o espaço tridimensional xyz contido em R4.

Ele é constituído dos pontos de R 4 que têm a quarta coordenada w - 0. O leitor deve comparar este exemplo com o do plano em R 3 que passa pelo ponto 0, 0, 2 e é paralelo ao plano xy. O Espaço de Quatro Dimensões 7. Agora aparece uma primeira surpresa: a reta r da Figura 7.